벡터의 내적과 외적

벡터의 곱셈은 내적(Inner Product, Dot Product)과 외적(Outer Product, Cross Product)으로 나뉜다.

 

벡터의 내적(Inner Product, Dot Product)

 

무엇을 측정하나

• 두 벡터의 “같은 방향 성분이 얼마나 겹치나”를 수치로 측정합니다.
• 결과는 스칼라(숫자) 입니다.

 

기하학적 정의

• a · b = |a||b| cos θ

한 벡터를 다른 벡터 방향으로 투영(projection)했을 때의 크기와 연결됨.

 

 

cosine graph

 

 

해석 포인트

• a · b > 0: 대체로 같은 방향(예각)
• a · b = 0: 서로 직교(90°)
• a · b < 0: 대체로 반대 방향(둔각)

 

 

좌표 정의 - 두 벡터의 성분별 곱의 합

• a · b = ax bx + ay by + az bz

 

벡터의 내적

내적의 활용

• 각도 계산: cos θ = (a·b)/(|a||b|)
• 직교 판정: a·b = 0
• 두 벡터의 방향이 같을 때 내적이 최대
• 투영/그림자 길이: 어떤 방향으로 얼마나 “미끄러지는지”
• 물리: 일(work) = 힘·변위 = F·d

 

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벡터의 외적(Outer Product, Cross Product)

 

무엇을 측정하나

• 두 벡터가 만드는 “평행사변형의 면적(크기)”과
• 그 면적이 “어느 방향(법선 방향)”을 향하는지까지 묶어서 측정합니다.
• 결과는 벡터 입니다.

 

기하학적 정의

• a × b의 크기 = |a||b| sin θ
• 방향: a에서 b로 오른손 법칙으로 정해지는 수직 방향(법선)

 

즉,

• θ=0 또는 π(평행)면 sin θ=0 → 외적 크기 0 (면적이 없으니)
• θ=90°면 sin θ=1 → 최대

 

좌표 정의

a=(ax,ay,az), b=(bx,by,bz):

• a × b = ( ay bz − az by,  az bx − ax bz,  ax by − ay bx )

 

벡터의 외적 공식

 

 

 

 

 

벡터의 외적 정의 이해하기

• u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) 의 벡터라고 할 때, 두 벡터의 외적은 (u2v3-u3v2, -u1v3+u3v1, u1v2-u2v1) 이다.
  • 이는 행렬식 부분을 참고하면 된다.
• u, v 벡터의 외적 크기는 |u||v|sinθ로 두 벡터가 이루는 평행사변형 넓이와 같다.
• u, v 벡터의 외적 방향은 u→v 방향으로 오른손을 감았을 때 엄지손가락 방향과 같다.(오른손 법칙)
• 벡터의 외적은 벡터다.

 

벡터의 외적 시각적 의미

 

 

벡터 외적 - 오른손 법칙

 

 

핵심 해석 포인트

• 방향성(orientation)이 있습니다: a×b = −(b×a)
• 크기는 면적: |a×b| = 평행사변형 면적
• 삼각형 면적은 그 절반: 0.5|a×b|

 

대표 활용

• 법선 벡터(normal) 계산: 평면/삼각형의 방향 잡기(그래픽스, 물리)
• 회전/토크: τ = r × F
• **2D에서의 “좌/우 회전 판정”**에 응용
• (2D 벡터를 3D로 올려 z성분만 보는 방식으로, 부호로 좌/우를 구분)